Đề thi tuyển sinh Đại học Oxford

Thí sinh dự tuyển vào một số ngành kỹ thuật của Đại học Oxford cần phải kinh qua bài thi tuyển sinh môn Toán. Bài này chúng tôi giới thiệu một số bài toán được sử dụng trong kỳ thi này.

Cho $A(x)=2x+1$ và $B(x)=3x+2$.

1. Chứng minh rằng $A(B(x))=B(A(x))$.
2. Cho $n$ là một số nguyên dương. Xác định $A^n(x)$, trong đó $A^n(x)=\underbrace{A(A(A(A\cdots A}_{n \;\;\text{lần}}(x) \cdots )$. Viết câu trả lời dưới dạng đơn giản nhất.
3. Một hàm số $F(x)=108x+c$ được tạo ra bằng cách dùng hàm $A(x)$ và $B(x)$ nhiều lần theo một thứ tự nào đó. Hỏi hàm $F(x)$ có thể được tạo ra  theo bao nhiêu cách khác nhau khi thay đổi thứ tự $A(x)$ và $B(x)$?
4. Hỏi $c$ có thể nhận bao nhiêu giá trị?
5. Hỏi có tồn tại các số nguyên $m_1, m_2,\ldots, m_k$ và $n_1, n_2,\ldots, n_k$ sao cho $A^{m_1}B^{n_1}(x)+A^{m_2}B^{n_2}(x)+A^{m_k}B^{n_k}(x)=214x+92,$ với mọi giá trị của $x$. Giải thích câu trả lời. 

Trong các câu hỏi dưới đây, ta dùng $\alpha$ chỉ chung một số cố định. Một hàm số được gọi là bilateral nếu $f(x)=f(2\alpha-x)$ với mọi $x$.

1. Chứng minh rằng nếu $f(x)=(x-\alpha)^2$ với mọi $x$ thì hàm $f$ là bilateral.
2. Chứng minh rằng nếu $f(x)=x-\alpha$ với mọi $x$ hàm hàm $f$ không bilateral.
3. Chứng minh rằng nếu $n$ là số nguyên không âm, và $a,b$ là các số thực thì $\int_a^bx^n dx= -\int_b^ax^ndx$.
4. Giả sử $f$ là một hàm bilateral, xét phần diện tích phía dưới hàm $y=f(x)$, hãy giải thích tại sao với $t\geq \alpha$ thì ta có $\int_\alpha^tf(x)dx=\int_{2\alpha-t}^\alpha f(x)dx$.
5. Nếu $f$ là một hàm số, ta đặt $G(t)=\int_\alpha^tf(x)dx$, với mọi $t$. Chứng minh rằng nếu $f$ là một hàm đa thức bilateral thì $G(t)=-G(2\alpha-t)$, với mọi $t$.
6. Giả sử hàm $f$ là bilateral sao cho hàm $G$ cũng bilatereal. Chứng minh rằng $G(x)=0$ với mọi $x$. 

Đặt $S_n=2+8+24+\cdots+n2^n$. 

1. Cho $f(n)=(An+B)2^n+C$, với $A, B, C$ là các hằng số. Giả sử $S_n=f(n)$ với mọi $n\geq1.$ Bằng cách cho $n=1, 2,3$ hãy tìm ba phương trình liên hệ $A, B, C$.
2. Giải hệ phương trình gồm ba phương trình trên để tìm $A, B, C$.
3. Sử dụng các giá trị này của $A, B, C$ để chứng minh rằng nếu $S_k=f(k)$ với $k\geq1$ thì $S_{k+1}=f(k+1)$.
4. Hãy tìm biểu thức rút gọn cho tổng sau $T_n=n+2(n-1)+4(n-2)+8(n-3)+\cdots+2^{n-1}1$.
5. Hãy tìm biểu thức rút gọn cho tổng $U_n=\frac12+\frac24+\frac38+\cdots+\frac n{2^n}$.
6. Tính tổng $\sum_{k=1}^n S_n$.